空間において、平面
の中で
で与えられる図形$D$を考える。ただし$a$は1より大きい定数とする。
この図形$D$を$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
解答例
図形$D$を平面で切断すると、
\begin{equation}
|x| \leqq \frac{e^t + e^{-t}}{2} -1, \quad z=t
\end{equation}で表される線分となります。
この線分を$y$軸の周りに1回転させると、ドーナツ状になります。
断面積は、
\begin{eqnarray}
S(x) &=& \pi \left( \mathrm{OA}^2 - \mathrm{OE}^2 \right) \\
&=& \pi \left[ \left \{ \left( \frac{e^t + e^{-t}}{2} -1 \right)^2 +t^2 \right \} -t^2 \right] \\
&=& \pi \left \{ \frac{e^{2t} +2 +e^{-2t}}{4} -(e^t +e^{-t}) +1 \right \} \\
&=& \pi \left \{ \frac{e^{2t} +e^{-2t}}{4} -(e^t +e^{-t}) +\frac{3}{2} \right \}
\end{eqnarray}となります。
よって、体積$V$は、
\begin{eqnarray}
V &=& \pi \int_0^{\log a} S(t) \, dt \\
&=& \pi \int_0^{\log a} \left \{ \frac{e^{2t} +e^{-2t}}{4} -(e^t +e^{-t}) +\frac{3}{2} \right \} \, dt \\
&=& \pi \left[ \frac{e^{2t} -e^{-2t}}{8} -(e^t -e^{-t}) +\frac{3}{2} \, t \right]_0^{\log a} \\
&=& \pi \left \{ \frac{a^2 -a^{-2}}{8} -(a -a^{-1}) +\frac{3}{2} \, \log a \right \} \\
&=& \pi \left( \frac{a^2}{8} -\frac{1}{8a^2} -a +\frac{1}{a} +\frac{3}{2} \, \log a \right)
\end{eqnarray}となります。
解説
図形の形が想像しにくいですが、切断してみると意外と見通しよくなります。
切り口を考えてそれから積分という手筋は鉄板です。
問題で出てきた関数
\begin{equation}
\frac{e^y +e^{-y}}{2} = \cosh y
\end{equation}は双曲線関数です。
双曲線関数 - 数式で独楽する
図形の切断面はこういう感じです。青が$x$軸、赤が$y$軸、緑が$z$軸です。
図の赤い太線を赤い軸を中心に1回転させます。
