2001年前期京大理系第6問 - 数式で独楽する

次の極限値を求めよ。
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} |\sin nx| \, dx
\end{equation}

解答例
解説

解答例

求める極限を $I$ 、
\begin{equation}
I_{n,m} = \int_{\frac{m}{n} \pi}^{\frac{m +1}{n} \pi} e^{-x} |\sin x| \, dx
\end{equation}とします。

\begin{eqnarray}
I_{n, 2k} &=& \int_{\frac{2k}{n} \pi}^{\frac{2k +1}{n} \pi} e^{-x} \, \sin nx \, dx \\
&=& \biggl[ -e^{-x} \, \sin nx \biggr]_{\frac{2k}{n} \pi}^{\frac{2k +1}{n} \pi} +n \int_{\frac{2k}{n} \pi}^{\frac{2k +1}{n} \pi} e^{-x} \, \cos nx \, dx \\
&=& 0 +n \biggl[ -e^{-x} \, \cos nx \biggr]_{\frac{2k}{n} \pi}^{\frac{2k +1}{n} \pi} -n^2 \int_{\frac{2k}{n} \pi}^{\frac{2k +1}{n} \pi} e^{-x} \, \sin nx \, dx \\
&=& n \left( e^{-\frac{2k +1}{n} \pi} +e^{-\frac{2k}{n} \pi} \right) -n^2 I_{n, 2k} \tag{1}
\end{eqnarray}また、
\begin{eqnarray}
I_{n, 2k +1} &=& -\int_{\frac{2k +1}{n} \pi}^{\frac{2k +2}{n} \pi} e^{-x} \, \sin nx \, dx \\
&=& \biggl[ e^{-x} \, \sin nx \biggr]_{\frac{2k +1}{n} \pi}^{\frac{2k +2}{n} \pi} -n \int_{\frac{2k +1}{n} \pi}^{\frac{2k +2}{n} \pi} e^{-x} \, \cos nx \, dx \\
&=& 0 +n \biggl[ e^{-x} \, \cos nx \biggr]_{\frac{2k +1}{n} \pi}^{\frac{2k +2}{n} \pi} -n^2 \int_{\frac{2k +1}{n} \pi}^{\frac{2k +2}{n} \pi} e^{-x} \, \sin nx \, dx \\
&=& n \left( e^{-\frac{2k +2}{n} \pi} +e^{-\frac{2k +1}{n} \pi} \right) -n^2 I_{n, 2k +1} \tag{2}
\end{eqnarray}です。

式(1), (2)をまとめ、
\begin{equation}
I_{n,m} = \frac{n}{n^2 +1} \left( e^{-\frac{m +1}{n} \pi} +e^{-\frac{m}{n} \pi} \right)
\end{equation}を得ます。

したがって、求める極限 $I$ は
\begin{eqnarray}
I &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{m = 0}^{n ^2 -1} I_{n, m} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 +1} \left \{ \frac{e^{-\frac{\pi}{n}} (1 -e^{-n \pi})}{1 -e^{-\frac{\pi}{n}}} +\frac{1 -e^{-n \pi}}{1 -e^{-\frac{\pi}{n}}} \right \} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 +1} \cfrac{(e^{-\frac{\pi}{n}} +1)(1 -e^{-n \pi})}{\cfrac{1 -e^{-\frac{\pi}{n}}}{\cfrac{\pi}{n}} \cdot \pi} \\
&=& 1 \cdot \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot \pi} \\
&=& \frac{2}{\pi}
\end{eqnarray}となります。

なお、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \cfrac{e^{-\frac{\pi}{n}} -1}{\cfrac{\pi}{n}} &=& \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} -1}{x} \\
&=& \left( \frac{d}{dx} \, e^{-x} \right)_{x = 0} \\
&=& -1
\end{eqnarray}です。