\begin{equation}
\sinh^{-1} x = \log \left( x +\sqrt{x^2 +1} \right)
\end{equation}
\begin{equation}
y = \sinh x = \frac{e^x -e^{-x}}{2}
\end{equation}とします。
変形すると
\begin{equation}
e^{2x} -2y \, e^x -1 = 0
\end{equation}となります。
について解くと、
\begin{equation}
e^x = y +\sqrt{y^2 +1}
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
x = \log \left( y +\sqrt{y^2 +1} \right)
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\sinh^{-1} x = \log \left( x +\sqrt{x^2 +1} \right)
\end{equation}です。
