2003年後期京大理系第3問別解

$a,b$ を実数とする。3次方程式 $x^3 +ax^2 +bx +1 = 0$ は3つの複素数からなる解 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ をもち、相異なる $i,j$ に対し、 $|\alpha_i -\alpha_j| = \sqrt{3}$ をみたしている。このような $a,b$ の組をすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

方程式の係数は全て実数のため、実数解を少なくとも1つ持ちます。
また、 $|\alpha_i -\alpha_j| = \sqrt{3}$ なので、方程式は実数 $p$ を用いて
\begin{equation}
(x -p)^3 = \pm 1 \tag{1}
\end{equation}と書くことができます。*1
式(1)を変形すると
\begin{equation}
x^3 -3px^2 +3p^2 x -p^3 \mp 1 = 0 \tag{2}
\end{equation}となります。

式(2)を元の方程式と係数を比較して、
\begin{eqnarray}
a &=& -3p \tag{3} \\
b &=& 3p^2 \tag{4} \\
-p^3 \mp 1 &=& 1 \tag{5}
\end{eqnarray}を得ます。
式(5)より、
\begin{equation}
p = 0, \ -\sqrt[3]{2}
\end{equation}となります。ここまで複号は同順です。

$p = 0$ の場合、式(3), (4)により、
\begin{eqnarray}
a &=& 0 \\
b &=& 0
\end{eqnarray}となります。

$p = -\sqrt[3]{2}$ の場合、同様にして
\begin{eqnarray}
a &=& 3 \sqrt[3]{2} \\
b &=& 3\sqrt[3]{4}
\end{eqnarray}となります。

以上より、求める $(a,b)$ は、
\begin{equation}
(a,b) = (0,0), \ (3\sqrt[3]{2}, \ \sqrt[3]{4})
\end{equation}です。

解説

2003年後期京大理系第3問 - 数式で独楽する
の別解です。

3次方程式の3つの解が複素平面で正三角形を成しています。
つまり、元の方程式を適当に変形して
\begin{equation}
(x -p)^3 = r \, e^{iq}
\end{equation}となる複素数 $p$ と実数 $q,r$ が存在するということです。本稿ではそのことを利用しています。