未知数
に関する方程式
が虚軸上の複素数解を持つような実数
をすべて求めよ。
解答例
該当する解を
\begin{equation}
x = iy \quad (y \in \mathbb{R}) \tag{0}
\end{equation}とします。
元の方程式に代入すると、
\begin{equation}
y^4 +iy^3 -y^2 -(a -2) \, iy -a -3 = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\left( y^4 -y^2 -a -3 \right) +i \left \{ y^3 -(a -2)\, y \right \} = 0
\end{equation}を得ます。
これより、
\begin{equation}
y^4 -y^2 -a -3 = 0 \tag{1}
\end{equation}かつ
\begin{equation}
y^3 -(a +2) \, y = 0 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。
複素数の一致 - 数式で独楽する
式(2)は
\begin{equation}
y \, \left \{ y^2 -(a +2) \right \} = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
y = 0 \tag{3}
\end{equation}または
\begin{equation}
y^2 = a +2 \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。
式(1), (3)より、
\begin{equation}
a = -3 \tag{5}
\end{equation}を得ます。
また、式(1), (4)より
\begin{eqnarray}
a^2 +4a +4 -(a +2) -a -3 &=& 0 \\
a^2 +2a -1 &=& 0 \\
a &=& -1 \pm \sqrt{2}
\end{eqnarray}を得ます。
ただし、式(4)より
\begin{equation}
a \geqq -2
\end{equation}なので、該当するのは
\begin{equation}
a = -1 +\sqrt{2} \tag{6}
\end{equation}のみとなります。
式(5), (6)より、求めるは
\begin{equation}
a = -3, \ \sqrt{2} -1
\end{equation}です。
解説
「虚軸上の複素数解」とあるので、素直に式(0)とします。
すると実部と虚部でそれぞれ方程式ができるので、それを解くことになります。
解くにあたり、
\begin{equation}
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
\end{equation}としています。
理系に類似の問題があります。
2001年前期 京大 理系 第2問 - 数式で独楽する
