2019年、京大 文系 第3問 - 数式で独楽する
で触れた、実数を係数に持つ2次方程式
\begin{equation}
ax^2+bx+c=0 \tag{1}
\end{equation}の解について見ていきます。
大前提として、2次方程式なのでです。
本稿では、
2次方程式の解の公式と判別式 - 数式で独楽する
と異なる手法で解の公式を導出します。
まず、
\begin{equation}
x = u +v \tag{2}
\end{equation}とします。
式(1)に代入し、整理します。
\begin{eqnarray}
a(u^2 +2uv +v^2) +b(u +v) +c &=& 0 \\
2au(u +v) -a(u^2 -v^2) +b(u +v) +c &=& 0 \\
(2au +b)(u +v) +c -a(u^2 -v^2) &=& 0 \tag{3}
\end{eqnarray}
これより、次の式(4), (5)が同時に成り立てば、未知数に対し式(3)が成立します。
\begin{eqnarray}
2au +b &=& 0 \tag{4} \\
c -a(u^2 -v^2) &=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}
式(4)より、
\begin{equation}
u = -\frac{b}{2a} \tag{6}
\end{equation}です。
式(5)に代入し、
\begin{eqnarray}
c -\frac{b^2}{4a} +av^2 &=& 0 \\
v^2 &=& \frac{b^2 -4ac}{4a^2} \\
v &=& \pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、式(2), (6), (7)より
\begin{equation}
x= u +v= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}となります。
