\begin{equation}
f(x) = \left \{ \begin{array}{cl}
b & (|x| < a) \\
0 & (|x| > a)
\end{array} \right.
\end{equation}のフーリエ変換は
\begin{equation}
\hat{f} (q) = \frac{2b \sin aq}{q}
\end{equation}
矩形パルスのフーリエ変換についてみていきます。記号については次のリンクのものを用います。
フーリエ変換 - 数式で独楽する
定義に従ってフーリエ変換を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\hat{f}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& \int_{-a}^a dx \, e^{-iqx} \, b \\
&=& \left[ -\frac{b}{iq} \, e^{-iqx} \right]_{-a}^a \\
&=& -\frac{b}{iq} \left( e^{-iaq} -e^{iaq} \right) \\
&=& \frac{2b \sin aq}{q}
\end{eqnarray}
逆変換は、
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{2b \sin aq}{q} \, e^{iqx} d q = \left \{ \begin{array}{cl}
b & (|x| < a) \\
0 & (|x| > a)
\end{array} \right.
\end{equation}です。
ここでとすると、
\begin{equation}
\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin aq}{q} \, e^{iqx} \, d q = \left \{ \begin{array}{cl}
1 & (|x| < a) \\
0 & (|x| > a)
\end{array} \right.
\end{equation}となります。
一方、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin aq}{q} \, e^{iqx} \, d q
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin aq}{q} (\cos qx +i \sin qx) \, d q \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin aq \, \cos qx}{q} \, d q \end{eqnarray}です。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
- 実部は偶関数
- 虚部は奇関数
なので、虚部は消えています。
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin aq \, \cos qx}{q} \, d q = \left \{ \begin{array}{cl}
\pi & (|x| < a) \\
0 & (|x| > a)
\end{array} \right.
\end{equation}を得ます。
ここでとすると、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin aq}{q} \, d q = \left \{ \begin{array}{cl}
\pi & (a > 0) \\
0 & (a = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}となります。
ここまでという想定でしたが、そもそも
なら積分は0になるので追加しています。
積分の中身は偶関数であり、
\begin{equation}
\int_0^\infty \frac{\sin aq}{q} \, d q = \left \{ \begin{array}{rc}
\displaystyle \frac{\pi}{2} & (a > 0) \\
0 & (a = 0) \\
\displaystyle -\frac{\pi}{2} & (a < 0)
\end{array} \right.
\end{equation}とも書けます。
