フーリエ変換 - 数式で独楽する

フーリエ変換
\begin{equation}
\hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx \tag{1}
\end{equation}
フーリエ逆変換
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f} \! (q) \, e^{iqx} \, d q \tag{2}
\end{equation}

フーリエ積分公式
フーリエ積分公式 - 数式で独楽する
\begin{equation}
f(x) = \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \cos q(x -u)
\end{equation}において
\begin{equation}
\cos q(x -u) = \frac{e^{i q(x -u)} +e^{-i q(x -u)}}{2}
\end{equation}を用いると、次の関係を得ます。
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
 指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する

\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(x) \left \{ e^{i q(x -u)} +e^{-i q(x -u)} \right \} \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \, e^{i q(x -u)} +\frac{1}{2\pi} \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \, e^{-i q(x -u)} \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \, e^{i q(x -u)} +\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^0 d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \, e^{i q(x -u)} \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \, e^{i q(x -u)}
\end{eqnarray}
つまり、指数関数を用いたフーリエ積分公式を得ます。

さらに、右側の積分に関係ない $e^{iqx}$ を左に出すと、
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \ e^{iqx} \int_{-\infty}^\infty du \ e^{-iqu} \, f(u)
\end{equation}を得ます。

ここで、
\begin{equation}
\hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx \tag{1}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f} \! (q) \, e^{iqx} \, d q \tag{2}
\end{equation}を得ます。