フーリエ変換のフーリエ変換

関数 $f(x), g(x), h(x)$ のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。

フーリエ変換のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = \hat{f} \! (x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h} (q) = 2\pi \, f(-q)
\end{equation}

フーリエ変換と逆変換はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\hat{f} \! (q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iq} \, f(x) \tag{1} \\
f(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx} \, \hat{f} \! (q) \tag{2}
\end{eqnarray}で表すことができます。

式(2)で $x$ と $q$ を入れ換えます。
\begin{equation}
f(q) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{iqx} \, \hat{f} \! (x)
\end{equation}
さらに $q$ を $-q$ として分母を払います。
\begin{equation}
2 \pi \, f(-q) = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, \hat{f} \! (x) \tag{3}
\end{equation}
ここで、式(1), (3)を比べます。式(3)の右辺は、 $\hat{f} \! (x)$ のフーリエ変換そのものです。