2001年前期京大理系第4問 - 数式で独楽する

$xyz$ 空間内の正八面体の頂点 $\mathrm{P_1, \ P_2, \ \cdots , \ P_6}$ とベクトル $\vec{v}$ に対し、 $k \ne m$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{P}_k \mathrm{P}_m} \cdot \vec{v} \ne 0$ が成り立っているとする。このとき、 $k$ と異なるすべての $m$ に対し $\overrightarrow{\mathrm{P}_k \mathrm{P}_m} \cdot \vec{v} < 0$ が成り立つような点 $\mathrm{P}_k$ が存在することを示せ。

解答例
解説

解答例

6点 $\mathrm{P_1, \ P_2, \ \cdots , \ P_6}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p}_1, \ \vec{p}_2, \ \cdots , \ \vec{p}_6$ とします。
$k \ne m$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{P}_k \mathrm{P}_m} \cdot \vec{v} \ne 0$ なので、
\begin{equation}
\left( \vec{p}_m -\vec{p}_k \right) \cdot \vec{v} \ne 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\vec{p}_k \cdot \vec{v} \ne \vec{p}_m \cdot \vec{v}
\end{equation}が成り立ちます。
つまり、 $\vec{p}_m \cdot \vec{v} \ (m = 1, 2, \cdots , 6)$ の値は全て異なります。
いま、値が最も大きいものを $\vec{p}_k \cdot \vec{v}$ とすると、 $k \ne m$ なる全ての $m$ に対し
\begin{equation}
\left( \vec{p}_m -\vec{p}_k \right) \cdot \vec{v} < 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{P}_k \mathrm{P}_m} \cdot \vec{v} < 0
\end{equation}が成り立ちます。
よって、題意は証明されました。