平面内の相異なる4点とベクトルに対し、のときが成り立っているとする。このとき、と異なるすべてのに対しが成り立つような点が存在することを示せ。
解答例
4点の位置ベクトルをそれぞれとします。
のときなので、
\begin{equation}
\left( \vec{p}_m -\vec{p}_k \right) \cdot \vec{v} \ne 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\vec{p}_k \cdot \vec{v} \ne \vec{p}_m \cdot \vec{v}
\end{equation}が成り立ちます。
つまり、の値は全て異なります。
いま、値が最も大きいものをとすると、なる全てのに対し
\begin{equation}
\left( \vec{p}_m -\vec{p}_k \right) \cdot \vec{v} < 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{P}_k \mathrm{P}_m} \cdot \vec{v} < 0
\end{equation}が成り立ちます。
よって、題意は証明されました。
解説
2点で指定するベクトルと位置ベクトルの関係が分かれば容易な問題です。
全て値が異なるので、最大となるものが存在するのは自明です。
理系に類似の問題があります。
2001年前期 京大 理系 第4問 - 数式で独楽する