2001年前期京大文系第4問(失敗例)

$n$ を2以上の整数とする。実数 $a_1, \ a_2, \ \cdots , \ a_n$ に対し、 $S = a_1 +a_2 +\cdots +a_n$ とおく。 $k = 1, 2, \cdots , n$ について不等式 $-1 < S -a_k < 1$ が成り立っているとする。 $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n$ のとき、すべての $k$ について $|a_k| < 2$ が成り立つことを示せ。

解答例
解説

解答例

与えられた不等式
\begin{equation}
-1 < S -a_k < 1 \tag{1}
\end{equation}より、
\begin{equation}
a_k -1 < S < a_k +1 \tag{2}
\end{equation}を得ます。

また、式(1)で $k = 1, 2, \cdots , n$ として辺々相加えると、
\begin{equation}
-n < nS -S < n
\end{equation}となります。 $n \geqq 2$ なので各辺を $n -1$ で割ることができ、
\begin{equation}
-\frac{n}{n -1} < S < \frac{n}{n -1}
\end{equation}となります。整理して、
\begin{equation}
-1 -\frac{1}{n -1} < S < 1 +\frac{1}{n -1} \tag{3}
\end{equation}を得ます。

式(2)の左辺・中辺と式(3)の中辺・右辺を組み合わせ、、
\begin{equation}
a_k -1 < 1 +\frac{1}{n -1} \tag{4}
\end{equation}を得ます。
式(2)の中辺・右辺と式(3)の左辺・中辺を組み合わせ、
\begin{equation}
-1 -\frac{1}{n -1} < a_k +1 \tag{5}
\end{equation}を得ます。

式(4), (5)を合わせて、
\begin{equation}
-2 -\frac{1}{n -1} < a_k < 2 +\frac{1}{n -1}
\end{equation}となります。

…あれ？