を2以上の整数とする。実数
に対し、
とおく。
について不等式
が成り立っているとする。
のとき、すべての
について
が成り立つことを示せ。
解答例
与えられた条件を書き出しておきます。
\begin{eqnarray}
&& a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n \tag{1} \\
&& -1 < S -a_k < 1 \quad (k = 1, 2,\cdots, n)\tag{2}
\end{eqnarray}
式(1)を踏まえ、まずを仮定します。
式(2)でとした
\begin{equation}
S -a_1 = a_2 +a_3 +\cdots +a_{n -1} +a_n < 1
\end{equation}と組み合わせると、
\begin{equation}
a_2 +a_3 +\cdots +a_{n -1} < -1 \tag{3}
\end{equation}となります。
式(1)の前提があるので、
\begin{equation}
a_2 < 0
\end{equation}となります*1。必然的に
\begin{equation}
a_1 < 0
\end{equation}です。
式(3)と合わせると、
\begin{equation}
a_1 +a_2 +\cdots +a_{n -1} = S -a_n < -1
\end{equation}となります。これは、の場合に式(2)に矛盾することを示しています。
よって、
\begin{equation}
a_n < 2 \tag{4}
\end{equation}となります。
次に、を仮定します。
式(2)でとした
\begin{equation}
S -a_n = a_1 +a_2 +\cdots +a_{n -1} +a_n > -1
\end{equation}と組み合わせると、
\begin{equation}
a_2 +a_3 +\cdots +a_{n -1} > 1 \tag{5}
\end{equation}となります。
式(1)の前提があるので、
\begin{equation}
a_{n -1} > 0
\end{equation}となります*2。必然的に
\begin{equation}
a_n > 0
\end{equation}です。
式(3)と合わせると、
\begin{equation}
a_2 +a_3 +\cdots +a_{n -1} +a_n = S -a_1 > 1
\end{equation}となります。これは、の場合に式(2)に矛盾することを示しています。
よって、
\begin{equation}
a_1 > -2 \tag{6}
\end{equation}となります。
以上、式(1), (4), (6)をまとめ、
\begin{equation}
|a_k| < 2
\end{equation}が成り立つことが示されました。
解説
条件を見ると何となく成り立ちそうな気がしますが、簡単にはいかなさそうなのが悩ましいところです。
「数列は単調増加」としてくれているので、端が範囲に入ることを示せばよいです。
なお、なら
\begin{eqnarray}
-1 &<& a_1 &<& 1 \\
-1 &<& a_2 &<& 1
\end{eqnarray}なので、命題が成り立つのは自明です。
なら
\begin{eqnarray}
-1 &<& a_1 +a_2 &<& 1 \\
-1 &<& a_1 +a_3 &<& 1 \\
-1 &<& a_2 +a_3 &<& 1
\end{eqnarray}です。数列が単調増加を踏まえると、証明の道筋が見えてきます。
背理法 - 数式で独楽する
こちらは失敗例です。
2001年前期 京大 文系 第4問(失敗例) - 数式で独楽する
