2001年後期京大理系第4問 - 数式で独楽する

負でない実数 $a$ に対し、 $0 \leqq r < 1$ で $a -r$ が整数となる実数 $r$ を $\{ a \}$ で表す。すなわち $\{ a \}$ は、 $a$ の小数部分を表す。
(1) $\{ n \log_{10} 2 \} < 0.02$ となる正の整数 $n$ を求めよ。
(2) 10進法による表示で $2^n$ の最高位の数字が7となる正の整数 $n$ を1つ求めよ。ただし、 $0.3010 < \log_{10} 2 < 0.3011, \ \ 0.8450 < \log_{10} 7 < 0.8451$ である。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

$\log_{10} 2$ の整数倍を、10倍まで書き出します。
\begin{eqnarray}
0.3010 &<& \log_{10} 2 &<& 0.3011 \\
0.6020 &<& 2\log_{10} 2 &<& 0.6022 \\
0.9030 &<& 3\log_{10} 2 &<& 0.9033 \\
1.2040 &<& 4\log_{10} 2 &<& 1.2044 \\
1.5050 &<& 5\log_{10} 2 &<& 1.5055 \\
1.8060 &<& 6\log_{10} 2 &<& 1.8066 \\
2.1070 &<& 7\log_{10} 2 &<& 2.1077 \\
2.4080 &<& 8\log_{10} 2 &<& 2.4088 \\
2.7090 &<& 9\log_{10} 2 &<& 2.7099 \\
3.010 &<& 10\log_{10} 2 &<& 3.011
\end{eqnarray}
これより、
\begin{equation}
0.010 < \{ 10\log_{10} 2 \} < 0.011
\end{equation}を得ます。
\begin{equation}
\{ 10\log_{10} 2 \} < 0.02
\end{equation}なので $n = 10$ は求める正の整数に該当します。

小問(2)の解答例

「 $2^n$ の最高位の数字が7になる」は、負でない整数 $k$ を用い、
\begin{equation}
7 \times 10^k \leqq 2^n < 8 \times 10^k
\end{equation}と表すことができます。
対数をとると、
\begin{equation}
\log_{10} 7 +k \leqq n \log_{10} 2 < 3\log_{10} 2 +k
\end{equation}となります。これより、問題の条件は
\begin{equation}
\log_{10} 7 \leqq \{ n \log_{10} 2 \} < 3\log_{10} 2
\end{equation}と書き換えることができます。

一方、小問(1)で書き出したものから、
\begin{equation}
0.846 < \{ 46\log_{10} 2 \} < 0.850
\end{equation}となります。
よって、 $n = 46$ は求める正の整数に該当します。

解説

正の整数 $n$ を「1つ求めよ」とあるので、それを見つける書きっぷりとなりました。
小問(1)では $\log_{10} 2$ の倍数をわざわざ書きましたが、それが小問(2)の見通しを得るのに役立っています。
「最高位が7」から $\{ n \log_{10} 2 \}$ の範囲が絞られるので、その中に入るように $\log_{10} 2$ の倍数を定めればよいのです。

なお、
\begin{eqnarray}
2^{46} &=& 70,368,744,177,664 \\
k &=& 13
\end{eqnarray}です。

こういう荒業があります。
2001年後期京大理系第4問超別解 - 数式で独楽する