2024年東北大理系第2問 - 数式で独楽する

以下の問いに答えよ。
(1) $t$ を $t > 1$ を満たす実数とする。正の実数 $x$ が2つの条件
(a) $\displaystyle x > \frac{1}{\sqrt{t} -1}$
(b) $x \geqq 2\log_t x$
をともに満たすとする。このとき、不等式
\begin{equation}
x +1 > 2\log_t (x +1)
\end{equation}を示せ。
(2) $n \leqq 2\log_2 n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

条件(a)を変形すると
\begin{equation}
\sqrt{t} > \frac{1}{x} +1 = \frac{x +1}{x}
\end{equation}となります。
対数をとります。
\begin{equation}
\frac{1}{2} > \log_t (x +1) -\log_t x
\end{equation}整理すると
\begin{equation}
1 +2\log_t x > 2\log_t (x +1)
\end{equation}となります。

条件(b)と合わせ、
\begin{equation}
x +1 \geqq 1 +2\log_t x > 2\log_t (x +1)
\end{equation}を得ます。(証明終わり)

小問(2)の解答例

小問(1)で $t = 2$ の場合を考えます。
条件(a)は
\begin{equation}
x > \frac{1}{\sqrt{2} -1} = \sqrt{2} +1
\end{equation}となります。

条件(b)は
\begin{equation}
x \geqq 2\log_2 x
\end{equation}つまり
\begin{equation}
2^x \geqq x
\end{equation}となります。

正の実数 $x$ が条件(a), (b)をともに満たすならば、
\begin{equation}
x +1 > 2\log_2 (x +1) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。 $x$ を整数に限定すると、
(a) $x \geqq 3$
(b) $x = 1, 2, \ x \geqq 4$
になります。
つまり、 $x \geqq 4$ ならば、式(1)を満たします。

したがって、
\begin{equation}
n = x +1
\end{equation}とし、
\begin{equation}
x = 1, 2, 3
\end{equation}の場合に
\begin{equation}
n \leqq 2\log_2 n \tag{2}
\end{equation}を満たすか否かを判定します。

\begin{array}{cccc}
\hline
x & n & 2\log_2 n & \mbox{Judge} \\ \hline
1 & 2 & 2\log_2 2 = 2 & \mbox{OK} \\
2 & 3 & 2\log_2 3 = \log_2 9 > 3 & \mbox{OK} \\
3 & 4 & 2\log_2 4 = 4 & \mbox{OK} \\ \hline
\end{array}
なお、 $n = 1$ の場合は右辺が0となり、不等式を満たしません。