2001年後期京大理系第4問超別解

負でない実数 $a$ に対し、 $0 \leqq r < 1$ で $a -r$ が整数となる実数 $r$ を $\{ a \}$ で表す。すなわち $\{ a \}$ は、 $a$ の小数部分を表す。
(1) $\{ n \log_{10} 2 \} < 0.02$ となる正の整数 $n$ を求めよ。
(2) 10進法による表示で $2^n$ の最高位の数字が7となる正の整数 $n$ を1つ求めよ。ただし、 $0.3010 < \log_{10} 2 < 0.3011, \ \ 0.8450 < \log_{10} 7 < 0.8451$ である。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{equation}
3.010 < 10\log_{10} 2 < 3.011
\end{equation}これより、
\begin{equation}
0.010 < \{ 10\log_{10} 2 \} < 0.011
\end{equation}を得ます。
\begin{equation}
\{ 10\log_{10} 2 \} < 0.02
\end{equation}なので $n = 10$ は求める正の整数に該当します。

小問(2)の解答例

\begin{array}{|r|r|}
\hline
n & 2^n \\ \hline
1 & 2 \\
2 & 4 \\
3 & 8 \\
4 & 16 \\
5 & 32 \\
6 & 64 \\
7 & 128 \\
8 & 256 \\
9 & 512 \\
10 & 1,024 \\
11 & 2,048 \\
12 & 4,096 \\
13 & 8,192 \\
14 & 16,384 \\
15 & 32,768 \\
16 & 65,536 \\
17 & 131,072 \\
18 & 262,144 \\
19 & 524,288 \\
20 & 1,048,576 \\
21 & 2,097,152 \\
22 & 4,194,304 \\
23 & 8,388,608 \\
24 & 16,777,216 \\
25 & 33,554,432 \\
26 & 67,108,864 \\
27 & 134,217,728 \\
28 & 268,435,456 \\
29 & 536,870,912 \\
30 & 1,073,741,824 \\
31 & 2,147,483,648 \\
32 & 4,294,967,296 \\
33 & 8,589,934,592 \\
34 & 17,179,869,184 \\
35 & 34,359,738,368 \\
36 & 68,719,476,736 \\
37 & 137,438,953,472 \\
38 & 274,877,906,944 \\
39 & 549,755,813,888 \\
40 & 1,099,511,627,776 \\
41 & 2,199,023,255,552 \\
42 & 4,398,046,511,104 \\
43 & 8,796,093,022,208 \\
44 & 17,592,186,044,416 \\
45 & 35,184,372,088,832 \\
46 & 70,368,744,177,664 \\
\hline
\end{array}
よって、 $n = 46$ は求める正の整数に該当します。

解説

2001年後期京大理系第4問 - 数式で独楽する
超別解です。
正の整数 $n$ を「1つ求めよ」とあるので、このような力業もありでしょう。
30分くらいあれば $2^{46}$ を求めることはおそらく可能でしょう。
2の何乗の最高位が7となるなるのかが分からない中で計算を続けるのはつらいでしょうが、試験時間は2時間30分あるのでやってみる価値はあると思います。
もしかしたら、この方法を採った人がいたかもしれません。