2001年後期京大理系第1問 - 数式で独楽する

方程式 $x^2 +2y^2 +2z^2 -2xy -2xz +2yz -5 = 0$ をみたす正の整数の組 $(x,y,z)$ をすべて求めよ。

与えられた式を変形すると
\begin{equation}
(x -y -z)^2 +y^2 +z^2 = 5
\end{equation}となります。

$x,y,z$ は全て正の整数なので、この式を満たすのは、

かつ

のみとなります。

よって、求める組は
\begin{equation}
(x,y,z) = (3,1,2), \ (3,2,1)
\end{equation}です。

「正の整数」は、強い拘束力を持つことが分かる問題です。
式は1本だけですが、「正の整数」という条件で値を求めることができています。