2023年京大理系第6問 - 数式で独楽する

$p$ を3以上の素数とする。また、 $\theta$ を実数とする。
(1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ の式として表せ。
(2) $\cos \theta = \displaystyle \frac{1}{p}$ のとき、 $\displaystyle \theta = \frac{m}{n} \cdot \pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由を付けて判定せよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

加法定理と倍角の公式により、
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
 倍角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta &=& \cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta \\
&=& (2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2\cos \theta \sin^2 \theta \\
&=& 2\cos^3 \theta -\cos \theta -2\cos \theta (1 -\cos^2 \theta) \\
&=& 4\cos^3 \theta -3\cos \theta \\
\\
\cos 4\theta &=& \cos^2 2\theta -1 \\
&=& 2 (2\cos^2 \theta -1)^2 -1 \\
&=& 8\cos^4 \theta -8\cos^2 \theta +1
\end{eqnarray}を得ます。
3倍角の公式 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

加法定理と積和の公式を用いると、正の整数 $k$ に対し、
積和の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos (k +1) \theta &=& \cos \theta \cos k\theta -\sin \theta \sin k\theta \\
&=& \cos \theta \cos k\theta +\frac{1}{2} \left \{ \cos (k +1) \theta -\cos (k -1) \theta \right \}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\cos (k +1) \theta = 2\cos \theta \cos k\theta -\cos (k -1) \theta \tag{1}
\end{equation}を得ます。

ここで、 $f_n (\cos \theta) = \cos n\theta$ が $\cos \theta$ の整式で表せるかどうかをみていきます。
\begin{equation}
f_1 (\cos \theta) = \cos \theta \tag{2}
\end{equation}は、 $\cos \theta$ の1次の整式です。係数は整数です。
\begin{eqnarray}
f_2 (\cos \theta) &=& \cos 2\theta \\
&=& 2\cos^2 \theta -1 \tag{3}
\end{eqnarray}は、 $\cos \theta$ の2次の整式です。係数は整数です。
ここで、

$f_{k -1} (\cos \theta)= \cos (k -1) \theta$ が $\cos \theta$ の $k -1$ 次の整式
$f_k (\cos \theta)= \cos k\theta$ が $\cos \theta$ の $k$ 次の整式

であることを仮定します。いずれも係数は整数とします。
式(1)により、 $f_{k +1} (\cos \theta)= \cos (k +1) \theta$ が $\cos \theta$ の $k +1$ 次の整式であることが分かります。
したがって、
\begin{equation}
f_n (\cos \theta) = \cos n\theta
\end{equation}は $\cos \theta$ の $n$ 次の整式で、係数は整数であることが示されました。
なおかつ、式(1)～(3)により、 $n$ 次の項の係数は $2^{n -1}$ となります。
数学的帰納法 - 数式で独楽する

この結果、
\begin{equation}
f_n (x) = 2^{n -1} x^n +a_{n -1} x^{n -1} +\cdots +a_1 x +a_0
\end{equation}とすることができます。係数 $a_0, a_1, \cdots, a_{n -1}$ は整数です。

$n\theta = m\pi$ のとき、
\begin{equation}
\cos m\pi = (-1)^m
\end{equation}です。
$\cos \theta = \displaystyle \frac{1}{p}$ なので、
\begin{equation}
f \left( \frac{1}{p} \right) = (-1)^m
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\frac{2^{n -1}}{p^n} +\frac{a_{n -1}}{p^{n -1}} +\cdots +\frac{a_1}{p} +a_0 \tag{4}
\end{equation}が成り立てば、題意を満たす正の整数 $m,n$ が存在することとなります。

式(4)の分母を払います。
\begin{equation}
2^{n -1} = (-1)^m p^n -(a_{m -1} p +\cdots +a_1 p^{n -1} +a_0 p^n)
\end{equation}さらに変形します。
\begin{equation}
2^{n -1} = p \left \{ (-1)^m p^{n -1} -(a_{m -1} +\cdots +a_1 p^{n -2} +a_0 p^{n -1}) \right \} \tag{5}
\end{equation}
式(5)の