2023年京大理系第5問 - 数式で独楽する

Oを原点とする $xyz$ 空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。
(a) 点Pは $x$ 軸上にある。
(b) 点Qは $yz$ 平面上にある。
(c) 線分OPと線分OQの長さの和は1である。
点Pと点Qが条件(a), (b), (c)を満たしながら動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。

解答例
解説
別解

解答例

条件(b)により、当該立体は

点Qを $y$ 軸上に限定して2点P, Qを動かしたときに線分PQが通過してできる図形、つまり包絡線を、
$x$ 軸周りに回転させて得られる立体

です。

以下、 $xy$ 平面で、 $0 < p < 1$ とし、P $(p,0)$ , Q $(0, 1 -p)$ とします。
PQを表す式は
\begin{equation}
\frac{x}{p} +\frac{y}{1 -p} = 1 \tag{1}
\end{equation}です。
なお、

$p = 0$ のときは $x = 0$
$p = 1$ のときは $= 0$

です。

線分PQの包絡線は、式(1)を $p$ で微分した
\begin{equation}
-\frac{x}{p^2} +\frac{y}{(1 -p)^2} = 0 \tag{2}
\end{equation}より $p$ を消去することで得られます。
包絡線の求め方 - 数式で独楽する

式(2)より得られる
\begin{equation}
y = \frac{(1 -p)^2}{p^2} \, x \tag{3}
\end{equation}を式(1)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{x}{p} +\frac{1 -p}{p^2} \, x = 1
\end{equation}となります。
よって
\begin{equation}
x = p^2 \tag{4}
\end{equation}を得ます。
これを式(3)に代入し、
\begin{equation}
y = (1 -p)^2 \tag{5}
\end{equation}を得ます。

P $(p, 0)$ , Q $(0, -1 +p)$ とすると同様にして式(4), (5)は
\begin{equation}
(x,y) = \left( p^2, \ -(p -1)^2 \right)
\end{equation}です。
P $(-p, 0)$ , Q $\left( 0, \mp (1 -p) \right)$ としても同様に
\begin{equation}
(x,y) = \left( -p^2, \ \pm (1 -p)^2 \right)
\end{equation}となります。複号は同順です。

$p = 0, 1$ の場合、
\begin{equation}
(x, y) = (0, \ \pm 1), \ (\pm 1, \ 0)
\end{equation}は式(4), (5)の組、またはその派生を満足します。

式(4), (5)およびその派生により、包絡線の式として
\begin{equation}
\sqrt{|x|} +\sqrt{|y|} = 1 \tag{6}
\end{equation}を得ます。

$x$ 軸、 $y$ 軸に関する対称性から、求める立体の体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& 2\pi \int_0^1 y^2 dx \\
&=& 2\pi \int_0^1 \left( 1 -\sqrt{x} \right)^4 dx \\
&=& 2\pi \int_0^1 \left( 1 -4x^{1/2} +6x -4x^{3/2} +x^2 \right) dx \\
&=& 2\pi \left[ x -\frac{8}{3} \, x^{3/2} +2x^2 -\frac{8}{5} \, x^{5/2} +\frac{1}{3} \, x^3 \right]_0^1 \\
&=& 2\pi \left( 1 -\frac{8}{3} +3 -\frac{8}{5} +\frac{1}{3} \right) \\
&=& \frac{2}{15} \, \pi
\end{eqnarray}となります。