2023年京大理系第5問別解1 - 数式で独楽する

Oを原点とする $xyz$ 空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。
(a) 点Pは $x$ 軸上にある。
(b) 点Qは $yz$ 平面上にある。
(c) 線分OPと線分OQの長さの和は1である。
点Pと点Qが条件(a), (b), (c)を満たしながら動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。

解答例
解説
別解

解答例

条件(b)により、当該立体は

点Qを $y$ 軸上に限定して2点P, Qを動かしたときに線分PQが通過してできる図形、つまり包絡線を、
$x$ 軸周りに回転させて得られる立体

です。

以下、 $xy$ 平面で、 $0 < p < 1$ とし、P $(p,0)$ , Q $(0, 1 -p)$ とします。
PQを表す式は
\begin{equation}
\frac{x}{p} +\frac{y}{1 -p} = 1 \tag{1}
\end{equation}です。
なお、

$p = 0$ のときは $x = 0$
$p = 1$ のときは $= 0$

です。

$x$ を固定して $p$ を変化させたとき、 $y$ がどのように変化するのかを見ていきます。
式(1)より
\begin{equation}
y = \left( 1 -\frac{x}{p} \right) (1 -p)
\end{equation}です。この形では $0 < p \leqq 1$ とできます。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dp} &=& \frac{x}{p} -1 +(1 -p) \cdot \frac{x}{p^2} \\
&=& \frac{px -p^2 +(1 -p)x}{p^2} \\
&=& \frac{x -p^2}{p^2}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
x = p^2 \tag{2}
\end{equation}のとき、最大値は
\begin{equation}
y = (1 -p)^2 \tag{3}
\end{equation}となります。
なお、 $p = 0$ のとき $y = 1$ はこの結果に合致します。

式(2), (3)より、
\begin{equation}
\sqrt{x} +\sqrt{y} = 1
\end{equation}を得ます。
図形の対称性により、包絡線は
\begin{equation}
\sqrt{|x|} +\sqrt{|y|} = 1 \tag{6}
\end{equation}となります。

$x$ 軸、 $y$ 軸に関する対称性から、求める立体の体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& 2\pi \int_0^1 y^2 dx \\
&=& 2\pi \int_0^1 \left( 1 -\sqrt{x} \right)^4 dx \\
&=& 2\pi \int_0^1 \left( 1 -4x^{1/2} +6x -4x^{3/2} +x^2 \right) dx \\
&=& 2\pi \left[ x -\frac{8}{3} \, x^{3/2} +2x^2 -\frac{8}{5} \, x^{5/2} +\frac{1}{3} \, x^3 \right]_0^1 \\
&=& 2\pi \left( 1 -\frac{8}{3} +3 -\frac{8}{5} +\frac{1}{3} \right) \\
&=& \frac{2}{15} \, \pi
\end{eqnarray}となります。