3次曲線の接線 - 数式で独楽する

本稿では、3次曲線に向けて引ける接線の数について見ていきます。

3次曲線 $C$ を表す式を
\begin{equation}
y = x^3 -3px \tag{1}
\end{equation}とします。*1
点P $(x,y)$ を通る $C$ の接線の数を考えていきます。

\begin{equation}
f(x) = x^3 -3px
\end{equation}に対し、
\begin{equation}
f'(x) = 3x^2 -3p
\end{equation}なので、 $C$ 上の点 $(t, \ t^3 -3pt)$ における接線の式は
\begin{eqnarray}
y &=& 3(t^2 -p)(x -t) +t^3 -3pt \\
&=& 3t^2 x -3t^3 -3px +3pt +t^3 -3pt \\
&=& -2t^3 +3xt^2 -3px \tag{2}
\end{eqnarray}となります。
接線上の点P $(x,y)$ に対して式(2)を満たす $t$ の数が、点Pより引くことのできる接線の数、ということになります。

ここで、
\begin{equation}
g(t) = -2t^3 +3xt^2 \tag{3}
\end{equation}とすると、 $tu$ 平面上の曲線と直線
\begin{eqnarray}
u &=& g(t) \\
u &=& 3px +y
\end{eqnarray}の交点の数が接線の本数となります。

式(3)より
\begin{eqnarray}
g'(t) &=& -6t^2 +6xt \\
&=& -6t(t -x)
\end{eqnarray}なので、 $g(t)$ の増減は $x$ の値で場合分けされ、そのそれぞれについて曲線と直線の交点の数の場合分けがなされます。

(i) $x > 0$ の場合
$g(t)$ の増減は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
t & \cdots & 0 & \cdots & x & \cdots \\ \hline
g'(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline
g(t) & \searrow & 0 & \nearrow & x^3 & \searrow \\ \hline
\end{array}
接線の本数は次の通りになります。

$3px +y < 0, \ x^3 < 3px +y$ の場合	1本
$3px.+y = 0, \ x^3$ の場合	2本
$0 < 3px +y < x^3$ の場合	3本

(ii) $x < 0$ の場合
$g(t)$ の増減は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
t & \cdots & x & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline
g'(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline
g(t) & \searrow & x^3 & \nearrow & 0 & \searrow \\ \hline
\end{array}
接線の本数は次の通りになります。

$3px +y < x^3, \ 0 < 3px +y$ の場合	1本
$3px.+y = 0, \ x^3$ の場合	2本
$x^3 < 3px +y < 0$ の場合	3本

(iii) $x = 0$ の場合
$g(t)$ の増減は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
t & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline
g'(t) & - & 0 & - \\ \hline
g(t) & \searrow & 0 & \searrow \\ \hline
\end{array}
接線の本数は $3px +y$ の値によらず1本です。