スカラーに対し、
\begin{eqnarray}
\mathrm{grad} (\phi \psi) &=& \phi \, \mathrm{grad} \, \psi + \psi \, \mathrm{grad} \, \phi \\
\nabla(\phi \psi) &=& \phi \nabla \psi + \psi \nabla \phi
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いると、の
成分は、
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla(\phi \psi) \Bigr)_i &=& \frac{\partial}{\partial x_i}(\phi \psi) \\
&=& \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \, \psi + \phi \, \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \\
&=& (\nabla \phi)_i \, \psi + \phi \, (\nabla \psi)_i
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{equation}
\nabla (\phi \psi) = (\nabla \phi) \, \psi + \phi \nabla \psi
\end{equation}となります。
見た目を重視すると、
\begin{equation}
\nabla (\phi \psi) = \phi \nabla \psi + \psi \nabla \phi
\end{equation}です。
積の微分と似た形になります。
積の微分 - 数式で独楽する
