\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} &=& (x,y,z) \\
r &=& \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}
\end{eqnarray}のとき
\begin{equation}
\nabla \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \right) = 0
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \right) = \frac{\partial }{\partial x} \frac{x}{r^3} +\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} +\frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3}
\end{equation}です。
ここで
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} &=& \frac{1}{r^3} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{(x^2 +y^2 +z^2)^{-3/2}} \\
&=& \frac{1}{r^3} +x \left \{ -\frac{3}{2} \frac{2x}{(x^2 +y^2 +z^2)^{-5/2}} \right \} \\
&=& \frac{1}{r^3} -\frac{3x^2}{r^5}
\end{eqnarray}であり、についても
から置き換えると同様です。
したがって、
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \right) &=& \frac{1}{r^3} -\frac{3x^2}{r^5} +\frac{1}{r^3} -\frac{3y^2}{r^5} +\frac{1}{r^3} -\frac{3z^3}{r^5} \\
&=& \frac{3}{r^3} -\frac{3(x^2 +y^2 +z^2)}{r^5} \\
&=& \frac{3}{r^3} -\frac{3r^2}{r^5} \\
&=& 0
\end{eqnarray}となります。
3次元の極座標系(球座標系)で考えると、発散は
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \, A_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{equation}です。
3次元球座標系の発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
A_r &=& \frac{1}{r^2} \\
A_\theta &=& 0 \\
A_\phi &=& 0
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \right) &=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \, 1 \\
&=& 0
\end{eqnarray}となります。
なお、ベクトルのスカラー倍の発散、位置ベクトルの発散、原点からの距離のべき乗の勾配を用いても、
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \right) &=& \frac{\nabla \cdot \boldsymbol{r}}{r^3} +\boldsymbol{r} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right) \\
&=& \frac{3}{r^3} +\boldsymbol{r} \cdot \left( -\frac{3 \boldsymbol{r}}{r^5} \right) \\
&=& \frac{3}{r^3} -\frac{3r^2}{r^5} \\
&=& 0
\end{eqnarray}となります。
ベクトルのスカラー倍の発散 - 数式で独楽する
位置ベクトルの発散 - 数式で独楽する
座標原点からの距離のべき乗の勾配 - 数式で独楽する
