ベクトルのスカラー倍の発散

ベクトル $\boldsymbol{A}$ とスカラー $\phi$ に対し、

\begin{eqnarray}
\mathrm{div} (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\mathrm{grad} \, \phi) \cdot \boldsymbol{A} + \phi \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{A}) \\
\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\nabla \phi) \cdot \boldsymbol{A} + \phi (\nabla \cdot \boldsymbol{A})
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
と内積の表記
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
を用いると、 $\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{A})$ は、
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{A}) &=& \frac{\partial}{\partial x_i} (\phi A_i)\\
&=& \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \, A_i + \phi \, \frac{\partial A_i}{\partial x_i} \\
&=& (\nabla \phi) \cdot \boldsymbol{A} + \phi (\nabla \cdot \boldsymbol{A})
\end{eqnarray}となります。