積の行列式 - 数式で独楽する

行列 $A$ に対する行列式を $\det A$ や $|A|$ と表します。

$n \times n$ 行列であるとき、
\begin{eqnarray}
\det A = |A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n | \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}とも表します。

本稿では、行列の積の行列式が、行列式の積となる、すなわち
\begin{eqnarray}
\det AB &=& \det A \cdot \det B \\
|AB| &=& |A||B|
\end{eqnarray}となることを見ていきます。

なお、
\begin{eqnarray}
A &=& (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n ) \\
B &=& \left( \begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{array} \right)
\end{eqnarray}とします。

ここから、行列式 $|AB|$ を、
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を駆使して変形していくと、導くことができます。

まず、
\begin{equation}
|AB| = \left| (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n ) \left( \begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{array} \right) \right|
\end{equation}です。
行列式記号の中を、行列の積の定義に従って計算します。
なお、アインシュタインの縮約記法を用い、和の記号は省略しています。
\begin{equation}
|AB| = |\boldsymbol{a}_i \, b_{i1} \quad \boldsymbol{a}_j \, b_{j2} \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_m \, b_{mn} |
\end{equation}となります。
列を定数倍すると行列式は定数倍になるので、
\begin{equation}
|AB| = |\boldsymbol{a}_i \quad \boldsymbol{a}_j \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_m| \, b_{i1} \, b_{j2} \cdots b_{mn}
\end{equation}となります。
行列式の性質列の定数倍 - 数式で独楽する

ここで、 $i,j, \cdots , m$ は $1,2, \cdots , n$ の置換です。
\begin{equation}
\sigma = \left( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
i & j & \cdots & m
\end{array} \right)
\end{equation}です。別の書き方では、
\begin{equation}
\sigma(1) = i, \ \sigma(2) = j, \ \cdots , \ \sigma(n) = m
\end{equation}です。

この $\sigma$ を用いると、行列式は、
\begin{equation}
|AB| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}}|\boldsymbol{a}_{\sigma(1)} \quad \boldsymbol{a}_{\sigma(2)} \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_{\sigma(n)}| \, b_{\sigma(1)1} \, b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n}
\end{equation}となります。添字の重複が分かりにくくなり、アインシュタインの縮約記法を使いにくくなったので、和の記号を省略せずに書いています。

列を入れ替えると、行列式は符号が入れ替わります。
置換した分だけ符号が入れ替わります。
行列式の性質列の入れ替え - 数式で独楽する

\begin{equation}
|\boldsymbol{a}_{\sigma(1)} \quad \boldsymbol{a}_{\sigma(2)} \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_{\sigma(n)}| = |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n| \, \mathrm{sgn}(\sigma)
\end{equation}なので、行列式は、
\begin{equation}
|AB| = |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n| \, \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) \, b_{\sigma(1)1} \, b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n}
\end{equation}となります。

行列式の定義
行列式 - 数式で独楽する
から
\begin{eqnarray}
|A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n| \\
|B| &=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) \, b_{\sigma(1)1} \, b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n}
\end{eqnarray}であるので、
\begin{equation}
|AB| = |A||B|
\end{equation}を得ます。