行列式の性質　列の定数倍

行列 $A$ に対する行列式を $\det A$ や $|A|$ と表します。
$n \times n$ 行列であるとき、

\begin{eqnarray}
\det A = |A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n | \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}とも表します。

行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}と定義します。
行列式 - 数式で独楽する

いずれかの列がをまるごと定数倍すると、行列式も定数倍となります。
\begin{equation}
|\cdots \quad c\boldsymbol{a}_k \quad \cdots| = c|\cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots|
\end{equation}です。
$\cdots$ の部分は左辺と右辺で変わりません。

定義に従って計算すると証明できます。

\begin{eqnarray}
|\cdots \quad c\boldsymbol{a}_k \quad \cdots|
&=& c\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots ca_{\sigma(k)k} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& c\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(k)k} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& c|\cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots|
\end{eqnarray}
となります。