本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$のベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する
2次元極座標系の場合に$z$成分を付け加えるだけで、容易です。
2次元極座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
ベクトル$\boldsymbol{A}$を
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_x \, \boldsymbol{i} + A_y \, \boldsymbol{j} + A_z \, \boldsymbol{k} \\
&=& A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_z \, \boldsymbol{k} \tag{2}
\end{eqnarray}とします。
式(2)に
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \theta \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}を代入すると、
\begin{equation}
A_x (\cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta) + A_y (\sin \theta \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta) + A_z \, \boldsymbol{k}
= A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_z \, \boldsymbol{k}
\end{equation}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
A_r &=& A_x \cos \theta + A_y \sin \theta \\
A_\theta &=& - A_x \sin \theta + A_y \cos \theta \\
A_z &=& A_z \tag{3}
\end{eqnarray}または
\begin{eqnarray}
A_x &=& A_r \cos \theta - A_\theta \sin \theta \\
A_y &=& A_r \sin \theta + A_\theta \cos \theta \\
A_z &=& A_z \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
行列Rを
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0\\
-\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{equation}とすると、式(3), (4)は
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} A_r \\ A_\theta \\ A_z \end{array} \right)
&=& R \left( \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right)
&=& R^{-1} \left( \begin{array}{c} A_r \\ A_\theta \\ A_z \end{array} \right)
\end{eqnarray}と書けます。
