オイラーの公式とは、指数関数と三角関数に次のような関係があることをいいます。
\begin{equation}
e^{ix} = \cos x + i \sin x \tag{1}
\end{equation}
ここでiは虚数単位で、
\begin{equation}
i^2=-1 \tag{2}
\end{equation}を満たす数です。
の単位はラジアンで、半径1、中心角
の扇形の弧の長さはxとなります。
このページでは、この式(1)を導いていきます。
おもむろに、
\begin{equation}
f(x)=(\cos x + i \sin x)e^{-ix} \tag{3}
\end{equation}と置きます。
ここで、f(x)の導関数を求めます。
\begin{eqnarray}
(\sin x)' &=&& \cos x \\
(\cos x)' &=&-& \sin x \\
(e^{ix})' &=&& i e^{ix}
\end{eqnarray}と式(2)を考慮すると、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& (\cos x + i \sin x)'e^{-ix} + (\cos x + i \sin x)(e^{-ix})' \\
&=& (-\sin x + i \cos x)e^{-ix} + (-i \cos x + \sin x)e^{-ix} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
となります。
つまり、は、
に依らず、定数だということです。
式(3)でとすると、
\begin{equation}
f(0)=1
\end{equation}となるので、
\begin{equation}
f(x)=(\cos x + i \sin x)e^{-ix}=1
\end{equation}となります。
両辺にを掛けると、式(1)を導くことができます。
\begin{equation}
\cos x + i \sin x = e^{ix}
\end{equation}
指数関数と三角関数のマクローリン展開から導く方法があります。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
