関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx
\end{equation}と表記することとします。
余弦、正弦関数のフーリエ変換
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \cos ax^2 \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \\
\mathcal{F} \left[ \sin ax^2 \right] &=& -\sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right)
\end{eqnarray}
このことは、
- 指数関数のフーリエ変換
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left( i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) \\
\mathcal{F} \left[ \exp \left( iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left( -i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right)
\end{eqnarray}
- フーリエ変換の線型性
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ a \, f(x) +b \, g(x) \right] = a \, \hat{f} \! (q) +b \, \hat{g} (q)
\end{equation}
より導くことができます。
また、三角関数と指数関数の関係
\begin{eqnarray}
\cos ax^2 &=& \frac{\exp (iax^2) +\exp (-iax^2)}{2} \\
\sin ax^2 &=& \frac{\exp (iax^2) -\exp (-iax^2)}{2i}
\end{eqnarray}も用います。
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
まず、余弦は次の通りです。
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \cos ax^2 \right] &=& \mathcal{F} \left[ \frac{\exp (iax^2) +\exp (-iax^2)}{2} \right] \\
&=& \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \left \{ \exp \left( -i \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) +\exp \left( i \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) \right \} \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right)
\end{eqnarray}
同様に、正弦は次の通りです。
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \sin ax^2 \right] &=& \mathcal{F} \left[ \frac{\exp (iax^2) -\exp (-iax^2)}{2i} \right] \\
&=& \frac{1}{2i} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \left \{ \exp \left( -i \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) -\exp \left( i \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) \right \} \\
&=& -\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right)
\end{eqnarray}
三角関数についても、
となるのは面白いところです。
