ネイピア数に関連する極限についてみています。
本稿では、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} =1
\end{equation}
であることをみていきます。
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log (1+x)} =1 \tag{1}
\end{equation}で、
\begin{equation}
\log(1+x) = t
\end{equation}とします。
変形すると
\begin{equation}
x = e^t -1
\end{equation}となるので、式(1)に代入します。
また、
\begin{equation}
x \to 0のとき、t \to 0
\end{equation}となります。
したがって、式(1)は
\begin{equation}
\lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} =1
\end{equation}となります。
文字を
に置き換えて、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} =1
\end{equation}を得ることができます。
