ネイピア数に関連する極限についてみています。
本稿では、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log (1+x)} =1
\end{equation}
であることをみていきます。
ネイピア数関連の極限・逆数編 - 数式で独楽する
で証明した
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} (1+x)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{x}} = e
\end{equation}の自然対数をとります。
対数をとると、累乗の部分は倍数になります。したがって、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} =1
\end{equation}となります。
逆数をとると、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\log (1+x)} =1
\end{equation}が得られます。
