関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(q)
\end{equation}とします。
変調
\begin{equation}
h(x) = e^{iq_0 x} \, f(x) \quad (q_0: \mbox{定数})
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \hat{f} \! (q -q_0)
\end{equation}
定義にしたがって式を変形させていくと、示すことができます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, e^{iq_0 x} \, f(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-i(q -q_0)x} \, f(x)
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{equation}
\hat{f}\! (q) = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} f(x)
\end{equation}のを
に置き換えると
\begin{equation}
\hat{f}\! (q -q_0) = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-i(q -q_0)x} \, f(x)
\end{equation}となります。
まとめると、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \hat{f} \! (q -q_0)
\end{equation}を得ます。
