本稿では、の連分数表記について見ていきます。
まず、次の式をご覧ください。
\begin{eqnarray}
\sqrt{5} - 2 &=& \frac{\left(\sqrt{5} - 2 \right) \left(\sqrt{5} + 2 \right)}{\sqrt{5} + 2} \\
&=& \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \tag{1}
\end{eqnarray}
中学のとき、分母に無理数が来たときは有利化しなさいと習いましたが、ここではその逆を行っています。
式(1)の両辺に4を加えると、
\begin{equation}
2 + \sqrt{5} = 4 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \tag{2}
\end{equation}となります。
ここで、式(2)の右辺に現れたに、式(2)を代入します。
\begin{eqnarray}
2+ \sqrt{5} &=& 4+ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \\
&=& 4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{2 + \sqrt{5}}} \tag{3}
\end{eqnarray}
式(3)の右辺のに、さらに式(2)を代入します。
\begin{equation}
2+ \sqrt{5} = 4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4+ \cfrac{1}{2 + \sqrt{5}}}}
\end{equation}
この操作を繰り返していくと、次のようになります。
\begin{equation}
2+ \sqrt{5} = 4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4+ \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{equation}
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
2+ \sqrt{5} = [4;4,4,4,\cdots]
\end{equation}となります。4が綺麗に並びました。
以上のことから、の連分数表記は、
\begin{equation}
\sqrt{5} = 2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4+ \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{equation}となります。
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
\sqrt{5} = [2;4,4,4,\cdots]
\end{equation}となります。
また、循環小数のように、
\begin{equation}
\sqrt{5} = \left[ 2; \dot{4} \right]
\end{equation}と書きます。
