\begin{equation}
\int \cot x \ dx = \int \frac{dx}{\tan x} = \log |\sin x| + C
\end{equation}
この式を導くには少し工夫が必要です。
まず、
\begin{equation}
\int \cot x \ dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}dx \tag{1}
\end{equation}です。
ここで、
\begin{equation}
t = \sin x \tag{2}
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
dt = \cos x \ dx
\end{equation}なので、式(1)は
\begin{eqnarray}
\int \cot x \ dx &=& \int \frac{dt}{t} \\
&=& \log |t| +C
\end{eqnarray}
となります。
ここで、式(2)を用いてtを元に戻すと、
\begin{equation}
\int \cot x \ dx = \log |\sin x| + C
\end{equation}が得られます。
置換積分 - 数式で独楽する
べき乗の不定積分 - 数式で独楽する
また次のように書くことができます。
\begin{eqnarray}
\int \cot x \ dx &=& \int \frac{\cos x}{\sin x}dx \\
&=& \int \frac{(\sin x)' dx}{\sin x} \\
&=& \log |\sin x| + C
\end{eqnarray}
