定積分の部分積分 - 数式で独楽する

不定積分の部分積分は
\begin{equation}
\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx
\end{equation}となります。
部分積分 - 数式で独楽する

これに対し、定積分の部分積分は、
\begin{equation}
\int_a^b f'(x)g(x) dx = \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx
\end{equation}となります。

式中の $\displaystyle \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b$ は、
\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b = f(b)g(b) - f(a)g(a)
\end{equation}ということです。*1

高校の教科書では $\displaystyle \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b$ と書かれていますが、
\begin{equation}
\left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right| _a^b =
\left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b
\end{equation}とも書きます。

定積分の部分積分その2 - 数式で独楽する
のように導くことができます。

*1:なお、 $\displaystyle \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x) \ \right] _a^b$ は、 \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x) \ \right] _a^b = f(b) -f(a) \end{equation}です。