\begin{equation}
\alpha = 1 +\sqrt{3} i
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\frac{(2 + \alpha)^6}{\alpha^3}
\end{equation}を求めよ。
前置き
\begin{equation}
\alpha = 1 +\sqrt{3} i
\end{equation}の形を見て、真っ先に思い浮かんだのが、
\begin{equation}
\omega = \frac{-1 +\sqrt{3} i}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 -\sqrt{3} i}{2}
\end{equation}です。
このは、
\begin{equation}
\omega^2 + \omega +1 =0
\end{equation}を満たし、
\begin{equation}
\omega^3 =1
\end{equation}です。
このことを踏まえて解いていきます。
本題
複素数を
\begin{equation}
\omega = \frac{-1 +\sqrt{3} i}{2}
\end{equation}と定めます。
このは
\begin{equation}
\omega^2 = \frac{-1 -\sqrt{3} i}{2} \tag{1}
\end{equation}を満たします。また、
\begin{equation}
\omega^2 + \omega +1 =0 \tag{2}
\end{equation}の解であり、
\begin{equation}
\omega^3 =1 \tag{3}
\end{equation}です。
式(1)より、
\begin{equation}
\alpha = -2 \omega^2
\end{equation}です。
さらに式(3)を用いると、
\begin{eqnarray}
\alpha^3 &=& (-2)^3 \omega^6 \\
&=& -2^3 \tag{4}
\end{eqnarray}
となります。
一方、
\begin{eqnarray}
2 + \alpha &=& 2 - 2\omega^2 \\
&=& 2(1 - \omega^2)
\end{eqnarray}
であり、式(2)を用いると、
\begin{equation}
2 + \alpha = 2(2 + \omega)
\end{equation}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
(2 + \alpha)^2 &=& 4(2 + \omega)^2 \\
&=& 4(4 + 4\omega + \omega^2)
\end{eqnarray}
となり、再び式(2)を用いると、
\begin{equation}
(2 + \alpha)^2 = -12\omega^2
\end{equation}となります。
したがって、式(3)を用いて、
\begin{eqnarray}
(2 + \alpha)^6 &=& (-12)^3 \omega^6 \\
&=& -12^3 \tag{5}
\end{eqnarray}
となります。
式(4), (5)より、
\begin{eqnarray}
\frac{(2 + \alpha)^6}{\alpha^3} &=& \frac{-12^3}{-2^3} \\
&=& 6^3 \\
&=& 216
\end{eqnarray}
となります。
