2005年前期京大理系第5問その1

$k$ を正の整数とし、 $2k \pi \leqq x \leqq (2k +1) \pi$ の範囲で定義された2曲線
\begin{equation}
C_1 \ : \ y = \cos x, \quad C_2 \ : \ y = \frac{1 -x^2}{1 +x^2}
\end{equation}を考える。
(1) $C_1$ と $C_2$ は共有点をもつことを示し、その点における $C_1$ の接線は点(0, 1)を通ることを示せ。
(2) $C_1$ と $C_2$ の共有点はただ1つであることを証明せよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

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小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
f(x) &=& \cos x \\
g(x) &=& \frac{1 -x^2}{1 +x^2}
\end{eqnarray}とします。

\begin{eqnarray}
g'(x) &=& \frac{-2x(1 +x^2) -(1 -x^2) 2x}{(1 +x^2)^2} \\
&=& -\frac{4x}{(1 +x^2)^2} < 0 \quad (\because \ x > 0)
\end{eqnarray}です。
$g(x)$ は $x > 0$ において単調減少で、
\begin{eqnarray}
g(0) &=& 1 \\
\lim_{x \to \infty} g(x) &=& -1
\end{eqnarray}となります。

一方、 $f(x)$ は $2k \pi \leqq x \leqq (2k +1) \pi$ において単調減少で、
\begin{eqnarray}
f(2k \pi) &=& 1 \\
f \left( (2k +1) \pi \right) &=& -1
\end{eqnarray}です。

\begin{eqnarray}
f(2k \pi) &<& g(2k \pi) \\
f \left( (2k +1) \pi \right) &<& g \left( (2k +1) \pi \right)
\end{eqnarray}なので、 $C_1$ と $C_2$ は $2k \pi < x < (2k +1) \pi$ で共有点をもつことが示されます。

共有点を $(t, \ \cos t) \ \left( 2k \pi < t < (2k +1) \pi \right)$ とします。
\begin{equation}
f'(x) = -\sin x
\end{equation}なので、共有点における接線の式は
\begin{equation}
y = -(x -t) \sin t +\cos t \tag{1}
\end{equation}となります。
接線が(0, 1)を通るので、式(1)より
\begin{equation}
1 = t \sin t +\cos t \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。

ここで、 $f(t) = g(t)$ すなわち
\begin{equation}
\cos t = \frac{1 -t^2}{1 +t^2} \tag{3}
\end{equation}が式(2)を満たすことを示します。

式(3)より、
\begin{eqnarray}
\sin^2 t &=& 1 -\cos^2 t \\
&=& 1 -\left( \frac{1 -t^2}{1 +t^2} \right)^2 \\
&=& \frac{4t^2}{(1 +t^2)^2}
\end{eqnarray}となります。
$2k \pi < t < (2k +1) \pi$ では $\sin x > 0$ なので、
\begin{equation}
\sin t = \frac{2t}{1 +t^2} \tag{4}
\end{equation}を得ます。

式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
t \sin t +\cos t &=& \frac{2t^2}{1 +t^2} +\frac{1 -t^2}{1 +t^2} \\
&=& \frac{1 +t^2}{1 +t^2} \\
&=& 1
\end{eqnarray}となり、式(2)を満たします。
よって、共有点における $C_1$ の接線は(0, 1)を通ることが示されました。