三角関数は、指数関数を用いて
\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
\sin x &=& \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
一方、双曲線関数は、
\begin{eqnarray}
\cosh x &=& \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \\
\sinh x &=& \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}
\end{eqnarray}
です。
これらより、双曲線関数に三角関数は、
\begin{eqnarray}
\cosh x &=&& \cos ix \\
\sinh x &=& -i & \sin ix
\end{eqnarray}
という関係であることが分かります。
逆に書くと、
\begin{eqnarray}
\cos x &=&& \cosh ix \\
\sin x &=& -i & \sinh ix
\end{eqnarray}
となります。
