以下の問いに答えよ。
(1)を実数とする。
\begin{equation}
A\sin 2 \theta + \sin (\theta + \alpha) = 0
\end{equation}を考える。
のとき、この方程式は
の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。
(2) 座標平面上の楕円
\begin{equation}
C: \ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1
\end{equation}を考える。また、
\begin{equation}を満たす実数$r$に対して、不等式
2x^2 + y^2 < r^2
\end{equation}が表す領域を
とする。
の最大値を求めよ。
条件：
上の点Qで、Qにおける
小問(1)の見通し
取り敢えず適当にと
のグラフを描いてみるとこんな感じになります。
交点は4個あります。
これを数学的にどう表現するかが悩ましいところです。
方程式が解ける形になっていないのが泣きどころです。
アプローチとしては、
連続関数
が
\begin{equation}
g(a) > 0, \quad g(b) < 0
\end{equation}または
\begin{equation}
g(a) < 0, \quad g(b) > 0
\end{equation}を満たすとき、は
と
の間に少なくとも1個の解を持つ。
というものがあるので、この線で攻めていくことにしましょう。
小問(1)の答案
\begin{equation}
f(\theta) = A\sin 2\theta - \sin(\theta + \alpha)
\end{equation}とします。なので、
\begin{eqnarray}
f \left( \frac{1}{4} \, \pi \right) &=&& A - \sin \left( \frac{1}{4} \, \pi + \alpha \right) > 0 \tag{1.2} \\
f \left( \frac{3}{4} \, \pi \right) &=&-& A - \sin \left( \frac{3}{4} \, \pi + \alpha \right) < 0 \tag{1.3} \\
f \left( \frac{5}{4} \, \pi \right) &=&& A - \sin \left( \frac{5}{4} \, \pi + \alpha \right) > 0 \tag{1.4} \\
f \left( \frac{7}{4} \, \pi \right) &=&-& A - \sin \left( \frac{7}{4} \, \pi + \alpha \right) < 0 \tag{1.5}
\end{eqnarray}です。
は連続関数なので、
\begin{equation}
\frac{1}{4} \, \pi < \theta < \frac{3}{4} \, \pi, \quad \frac{3}{4} \, \pi < \theta < \frac{5}{4} \, \pi , \quad \frac{5}{4} \, \pi < \theta < \frac{7}{4} \, \pi
\end{equation}にそれぞれ1個ずつの解を持ちます。
また、
\begin{equation}
f(0) = f(2\pi) = - \sin \alpha
\end{equation}なので、の値により、次のように場合分けできます。
の場合、
\begin{equation}
\frac{7}{4} \, \pi < \theta < 2\pi
\end{equation}に少なくとも1個の解を持ちます。
の場合、
\begin{equation}
0 < \theta < \frac{1}{4} \, \pi
\end{equation}に少なくとも1個の解を持ちます。
の場合、
\begin{equation}
\theta = 0
\end{equation}が解です。
以上より、つまり
\begin{equation}
A\sin 2 \theta + \sin (\theta + \alpha) = 0 \tag{1.1}
\end{equation}はに少なくとも4個の解を持つことが示されました。
