濃縮問題
濃縮問題 - 数式で独楽する
容積がVの容器いっぱいに濃度がCの溶液が入っている。
この容器に流量Qで濃度がの液体を注入し、同じ流量で排出する系を考える。
時刻t=0の時の濃度を
とするとき、
- 時刻tの濃度を求めよ。
- 濃度を
とする場合の注入量を求めよ。
で出て来た微分方程式
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} = Q(C_0 -C) \tag{1}
\end{equation}を幾つかの手法で解いていきます。
本稿はその3つ目です。
式(1)を少し変形します。
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V} \ C = \frac{Q}{V}\ C_0 \tag{2}
\end{equation}
本稿では、
- 非斉次形の一般解=斉次形の一般解+非斉次形の特殊解
で解いていきます。
非斉次線型微分方程式の解法 - 数式で独楽する
まず、式(2)の特殊解を求めます。
\begin{equation}
C=a \quad (a: 定数)
\end{equation}とすると、式(2)は
\begin{equation}
0 + \frac{Q}{V} \ a = \frac{Q}{V} \ C_0
\end{equation}となり、
\begin{equation}
a = C_0
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{equation}
C = C_0 \tag{3}
\end{equation}は、式(2)の特殊解であることが分かります。
次に、式(2)の斉次形
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V} \ C = 0 \tag{2'}
\end{equation}の一般解は、
\begin{equation}
C = A \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize - \frac{Q}{V}\ t $}} \quad (A : 任意定数) \tag{4}
\end{equation}です。
式(3), (4)より、式(1)の一般解
\begin{equation}
C = C_0 + A \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}を得ます。
