対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
この考え方だと、実数は連続、1/tは連続関数、その積分も連続関数であるということができる、というものです。
中学高校の
\begin{equation}
a^n = a \times a \times \cdots \times a
\end{equation}で指数を定め、指数関数を定め、対数関数を定めると、連続性があやふやになっているという考え方です。
式(1)で定義した関数が、対数関数の性質を持ち、その他の関係を満たしているかどうかを確かめていきます。
本稿はその1つ目です。
微分するとどうなるかを見てみます。
式(1)を微分すると、明らかに
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}
\end{equation}です。積分したものを微分すれば、元の関数に戻るのは当然です。
当たり前ですが、
対数関数の微分 - 数式で独楽する
と同じ結果が得られています。
