関数は、周期が
の周期関数とします。
\begin{equation}
f(x +2L) = f(x)
\end{equation}とします。
さらに、
\begin{equation}
f(x)= \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} +b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \tag{1}
\end{equation}と展開できるものとします。
このとき、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{2} \\
b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
フーリエ級数 - 数式で独楽する
では簡易的にみましたが、もう少し詳しくみていきましょう。
式(1)より、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx
&=& \int_{-L}^L \left \{ \frac{a_0}{2} +\sum_{m=1}^\infty \left( a_m \cos \frac{m\pi x}{L} +b_m \sin \frac{m \pi x}{L} \right) \right \} \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{a_0}{2} \int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \\
&&+\sum_{m=1}^\infty \left( a_m \int_{-L}^L \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx +b_m \int_{-L}^L \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \right) \\
&=& a_n L
\end{eqnarray}です。
なお、級数が収束する前提で、1行目から2行目への変形では、和と積分の順序を入れ替えています。
2行目の積分のうち、
- 1つ目は
の場合に0となります。
- 2つ目は
の場合に0となります。
- 3つ目は0です。
同様に、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx
&=& \int_{-L}^L \left \{ \frac{a_0}{2} +\sum_{m=1}^\infty \left( a_m \cos \frac{m\pi x}{L} +b_m \sin \frac{m \pi x}{L} \right) \right \} \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{a_0}{2} \int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \\
&&+\sum_{m=1}^\infty \left( a_m \int_{-L}^L \cos \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx +b_m \int_{-L}^L \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \right) \\
&=& b_n L
\end{eqnarray}です。
2行目の積分のうち、
- 1つ目と2つ目は0になります。
- 3つ目は
