対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
この考え方だと、実数は連続、1/tは連続関数、その積分も連続関数であるということができる、というものです。
中学高校の
\begin{equation}
a^n = a \times a \times \cdots \times a
\end{equation}で指数を定め、指数関数を定め、対数関数を定めると、連続性があやふやになっているという考え方です。
この関数の性質について、以下のリンクを参照ください。
∫dt/tの性質 その1 微分 - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その2 積を和に変換 - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その3 べき乗を定数倍に変換 - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その4 逆関数の微分 - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その5 逆関数の性質 - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その6 関連する極限 - 数式で独楽する
ネイピア数 - 数式で独楽する
でネイピア数を定め、自然対数を導くことを、逆の方向に辿っていっています。
