行列式の性質　列の入れ替え

行列 $A$ に対する行列式を $\det A$ や $|A|$ と表します。
$n \times n$ 行列であるとき、

\begin{eqnarray}
\det A = |A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n | \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}とも表します。

行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}と定義します。
行列式 - 数式で独楽する

いずれかの2列を入れ替えると、行列式の符号が入れ替わります。
\begin{equation}
|\cdots \quad \boldsymbol{a}_l \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots|
= - |\cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_l \quad \cdots|
\end{equation}です。
$\cdots$ の部分は左辺と右辺で変わりません。

定義に従って計算すると証明できます。
まず、第 $k$ 列と第 $l$ 列が入れ替わっているので、
\begin{equation}
|\cdots \quad \boldsymbol{a}_l \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots|
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(k)l} \cdots a_{\sigma(l)k} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}です。
ここで、新たな置換 $\sigma '$ を次のように定めます。
\begin{equation}
\left \{ \begin{array}{cccc}
\sigma '(k) &=& \sigma(l) & \\
\sigma '(l) &=& \sigma(k) & \\
\sigma'(i) &=& \sigma(i) & (i \ne k, \ i \ne l)
\end{array} \right.
\end{equation}また、
\begin{equation}
\mathrm{sgn}(\sigma') = -\mathrm{sgn(\sigma)}
\end{equation}です。
よって、
\begin{eqnarray}
|\cdots \quad \boldsymbol{a}_l \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots|
&=& -\sum_{\sigma' \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma') a_{\sigma'(1)1} \cdots a_{\sigma'(k)k} \cdots a_{\sigma'(l)l} \cdots a_{\sigma'(n)n} \\
&=& - |\cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_l \quad \cdots|
\end{eqnarray}となります。