ARML 2018年

からなる空でない部分集合のうち、なるの数を求めよ。ただし、はの要素の個数を表す。

The American Regions Mathematics League (ARML)は、アメリカの高校の数学の大会です。

「部分集合の要素の個数と最大値の積が18」
とあります。
部分集合の要素が定まらないので、取り付きにくい感じがします。
ですが、要素の個数も最大値も整数なので、パターンは限定されます。
積が18になる組合せは1×18か2×9か3×6しかなく、それぞれについて落ち着いて考えれば解くことができます。

かつの場合、
該当するは
\begin{equation}
S = \{ 18 \}
\end{equation}のみです。

かつの場合、
該当するは
\begin{equation}
S = \{ 9, n \} \quad (n = 1,2, \cdots , 8)
\end{equation}で、8個あります。

かつの場合、
該当するは
\begin{equation}
S = \{ 6, m, n \} \quad (m,n = 1,2,3,4,5)
\end{equation}です。最大値は6であり、残りの2つは1~5の数字から順序を考慮せずに選びます。
の個数は、
\begin{equation}
{}_5 C_2 = \frac{5 \cdot 4}{2!} = 10
\end{equation}となります。

かつの場合、
かつの場合、
かつの場合、
該当するはありません。

以上より、該当するは19個となります。