エディントンEddingtonのイプシロン または
レヴィ·チヴィタLevi-Civita記号は、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{rl}
1 & (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\
-1 & (i,j,k) = (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.
\end{equation}を満たすテンソルです。要素が3つあり、3階のテンソルといいます。
成分は3×3×3=27個です。
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号の性質を紹介していきます。
本稿では、アインシュタインの縮約記法を用います。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = 6
\end{equation}
証明は以下の通りです。
定義に従って、0にならないものを羅列していけば導くことができます。
\begin{eqnarray}
\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} &=& \epsilon_{123}\epsilon_{123} + \epsilon_{231}\epsilon_{231} + \epsilon_{312}\epsilon_{312} + \epsilon_{321}\epsilon_{321} + \epsilon_{213}\epsilon_{213} + \epsilon_{132}\epsilon_{132} \\
&=& 6
\end{eqnarray}
