3次元のベクトルに対し、
\begin{equation}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
\end{equation}を、「スカラー四重積」といいます。
記号は内積、
は外積を表します。
次の関係があります。
スカラー四重積
\begin{equation}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) =
(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})
\end{equation}
スカラー四重積は、
エディントンのイプシロン
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いると簡潔に表記できます。
を
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{array} \right), \quad
\boldsymbol{c} = \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right), \quad \boldsymbol{d} = \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\d_3 \end{array} \right)
\end{equation}とすると、次のようになります。
まず、内積をアインシュタインの縮約記法で表現します。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
\begin{equation}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) =
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})_i
\end{equation}
次に、外積をエディントンのイプシロンを用いて表現します。
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) &=& \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \ \epsilon_{i lm} \, c_l \, d_m \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \epsilon_{i lm} \ a_j \, b_k \, c_l \, d_m
\end{eqnarray}
エディントンのイプシロンが2つ重なったので、クロネッカーのデルタで表現できます。
\begin{equation}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\delta_{jl} \, \delta_{km} - \delta_{jm} \, \delta_{kl})\, a_j \, b_k \, c_l \, d_m
\end{equation}
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmk} - 数式で独楽する
クロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
の性質を用いると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) &=& a_j \, b_k \, c_j \, d_k - a_j \, b_k \, c_k \, d_j \\
&=& a_j \, c_j \, b_k \, d_k - a_j \, d_j \, b_k \, c_k
\end{eqnarray}
最後に内積の表記に戻すと、
\begin{equation}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) =
(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})
\end{equation}を得ます。
