京大 1991年前期理系第6問その2

関数 $y=f(x) \ (x \geqq 0)$ は次の条件①、②を満たしている。
①　 $f(x)$ は微分可能で $f'(x)$ は連続、かつ $f(x) > 0$
②　正の定数 $a$ があって $\displaystyle \int_0^x \bigl( f(t) \bigr)^{-a} dt = \int_a^{f(x)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt$
(1) ②の等式の両辺を $x$ について微分して得られる( $y$ の満たす)微分方程式を書け。また $f(0)$ の値を求めよ。
(2) 正の定数 $b,c$ があって次の不等式(イ)、(ロ)を満たしていることを示せ。
(イ)　 $b \leqq f'(x) \leqq 1$
(ロ)　 $\displaystyle 0 \leqq f(x) \left( \frac{1}{f'(x)} -1 \right) \leqq c$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ を求めよ。また $f'(x)$ の最小値を求めよ。

小問(1)の解答例・抄
小問(2)(イ)の解答例
小問(2)(イ)の解説
小問(2)(ロ)の解答例
小問(3)の解答例

続きです。

小問(1)の解答例・抄

京大 1991年前期理系第6問その1 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
y' &=& \frac{1}{y^a e^{- \frac{y^2}{2}} +1} \tag{1.1} \\
f(0) &=& a \tag{1.3}
\end{eqnarray}

小問(2)(イ)の解答例

式(1.1)より $y' > 0$ 、すなわち $y=f(x)$ は単調増加です。
また、式(1.3)より $f(0)=a$ なので、
\begin{equation}
y \geqq a > 0
\end{equation}です。

\begin{equation}
g(y) = y^a e^{- \frac{y^2}{2}} + 1
\end{equation}とすると
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{g(y)}
\end{equation}です。
これより、
\begin{eqnarray}
g'(y)&=& ay^{a -1} e^{- \frac{y^2}{2}} + y^a e^{- \frac{y^2}{2}} (-y) \\
&=& (a -y^2) y^{a -1} e^{- \frac{y^2}{2}} \\
&=& (\sqrt{a} +y)(\sqrt{a} -y) y^{a -1} e^{- \frac{y^2}{2}}
\end{eqnarray}となります。

これより、 $g(y)$ の増減は次のようになります。

$a \geqq 1$ の場合
\begin{array}{c|ccc}
\hline
y & a & \cdots & \infty \\ \hline
g'(y) & & - & \\
g(y) & g(a) & \searrow & 1 \\
y'=1/g(y) & 1/g(a) & \nearrow & 1 \\ \hline
\end{array}

$a < 1$ の場合
\begin{array}{c|ccccc}
\hline
y & a & \cdots & \sqrt{a} & \cdots & \infty \\ \hline
g'(y) & & + & 0 & - & \\
g(y) & g(a) & \nearrow & g(\sqrt{a}) & \searrow & 1 \\
y'=1/g(y) & 1/g(a) & \searrow & 1/g(\sqrt{a}) & \nearrow & 1 \\ \hline
\end{array}