平面上の点P, Q, Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を△PQRで表す。また、P, Q, Rが同一直線上にあるときは△PQR=0とする。
A, B. Cを平面上の3点とし、△ABC=1とする。この平面上の点Xが
\begin{equation}
2 \leqq \triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{BCX} + \triangle \mathrm{CAX} \leqq 3
\end{equation}を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。
続きです。
東大 2020年 前期 理系 第2問(1/2) - 数式で独楽する
ここまでのあらすじ
\begin{equation}
\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{CA}}, \quad \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{CB}}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{ABC} = \frac{1}{2} \, \left| \, \vec{a} \times \vec{b} \, \right| = 1
\end{equation}です。
平面上の点Xについて、実数を用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{CX}} = p \, \vec{a} + q \, \vec{b}
\end{equation}と表すこととします。
このとき、
\begin{equation}
S = \triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{BCX} + \triangle \mathrm{CAX}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
S = |1 -p -q| + |p| + |q| \tag{1}
\end{equation}となったのでした。
ここからの見通し
件の面積が式(1)の通り求められたので、ここから先は、
\begin{equation}
2 \leqq S \leqq 3
\end{equation}となるの条件を求めていくことになります。
絶対値記号が含まれているので、場合分けを地道にしていきます。
答案の続き
の場合
\begin{equation}
S = -p -q +1 -p -q = 1- 2(p +q)
\end{equation}であるので、より
\begin{equation}
2 \leqq 1 -2(p +q) \leqq 3
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
-\frac{1}{2} \geqq p +q \geqq -1
\end{equation}となります。
の場合
\begin{equation}
S = -p+q + |1 -p -q| = \left \{ \begin{array}{ll}
1 -2p & (1 -p -q \geqq 0) \\
-1 +2q & (1 -p -q < 0)
\end{array} \right.
\end{equation}です。ここでを用います。
の場合
より
\begin{equation}
-\frac{1}{2} \geqq p \geqq -1
\end{equation}です。
の場合
より、
\begin{equation}
\frac{3}{2} \leqq q \leqq 2
\end{equation}です。
の場合
\begin{equation}
S = p -q + |1 -p -q| = \left \{ \begin{array}{ll}
1 -2q & (1 -p -q \geqq 0) \\
-1 +2p & (1 -p -q < 0)
\end{array} \right.
\end{equation}です。ここでを用います。
の場合
より
\begin{equation}
-\frac{1}{2} \geqq q \geqq -1
\end{equation}です。
の場合
より、
\begin{equation}
\frac{3}{2} \leqq p \leqq 2
\end{equation}です。
の場合
\begin{equation}
S = p +q + |1 -p -q| = \left \{ \begin{array}{ll}
1 & (1 -p -q \geqq 0) \\
-1 +2(p+q) & (1 -p -q < 0)
\end{array} \right.
\end{equation}です。なので、
\begin{equation}
2 \leqq -1 +2(p+q) \leqq 3
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\frac{3}{2} \leqq p+q \leqq 2
\end{equation}となります。
場合分けのまとめ
以上をまとめると、を満たす
の範囲は、
の場合、
の場合、
となります。
図に示すと、図のピンクに塗った範囲になります。
図中の平面における面積は、
\begin{equation}
\frac{1}{4}.\times 5 \times 2 + \frac{1}{8} \times (3+7) = \frac{15}{4}
\end{equation}です。
一方、水色に塗ったの面積は1/2ですが、
これが実平面における△ABC=1に相当します。
よって、Xが動きうる範囲の面積は、
\begin{equation}
\frac{15}{4} \times 2 = \frac{15}{2}
\end{equation}となります。
