2000年後期 京大 文系 第3問

平面上の点で座標、座標がともに整数である点を格子点という。

(1)格子点を頂点とする三角形の面積は以上であることを示せ。

(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき、この四角形は平行四辺形であることを示せ。

小問(1)解答例

頂点の1つを座標原点O(0, 0)としても一般性を失いません。
他の2頂点も格子点上にあるため、P₀(1 ,0), Q₀(0, 1)とすると、△OP₀Q₀の面積は、
\begin{equation}
S_0 = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。

なる各座標軸上の格子点PおよびQの場合、△OPQの面積は
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} \, |pq| \geqq S_0 = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。
したがって、3頂点を座標原点および各座標軸上の格子点に置く三角形の面積は以上であることが分かりました。

ここで、整数で作られた行列
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)
\end{equation}による1次変換を考えると、により点P₀, Q₀はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\mathrm{P}_0 (1,0) & \to & \mathrm{P'}_0 (a,b) \\
\mathrm{Q}_0 (0,1) & \to & \mathrm{Q'}_0 (c,d)
\end{eqnarray}と変換されます。
\begin{equation}
|ad -bc| = 1
\end{equation}のとき、△OP'₀Q'₀の面積は
\begin{equation}
S'_0 = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。
ベクトルの外積 - 数式で独楽する

この変換により座標軸上の格子点P, Qは
\begin{eqnarray}
\mathrm{P} (p,0) & \to & \mathrm{P'} (p a, pb) \\
\mathrm{Q} (0,q) & \to & \mathrm{Q'} (qc, qd)
\end{eqnarray}に変換されます。このとき、△OP'Q'の面積は、
\begin{equation}
S' = \frac{1}{2} \, |pq| \geqq S'_0 = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。

座標平面上の任意の格子点P', Q'は、各座標軸上の格子点P, Qを、なる行列による1次変換により移されるため、題意を証明することができます。(証明終わり)

小問(2)の解答例

R₀ (1, 1)とすると、凸四角形は1辺の長さが1の正方形です。面積は1です。
これをにて変換すると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{O} & (0,0) \\
\mathrm{P'}_0 & (a,b) \\
\mathrm{Q'}_0 & (c,d) \\
\mathrm{R'}_0 & (a +c, \, b +d)
\end{eqnarray}による面積1の凸四角形ができます。

このとき、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OP'_0}} = \overrightarrow{\mathrm{Q'_0 R'_0}} = (a,b)
\end{equation}です。
向かい合う2辺が平行で長さが等しいので、凸四角形は平行四辺形です。(証明終わり)

解説

3点で作る三角形の面積は
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, |ad -bc|
\end{equation}ですが、格子点の条件で
\begin{equation}
|ad -bc| \geqq 1
\end{equation}なることを証明する筋道が立てられませんでした。
なので、1次変換を利用しています。